初中数学几何应该怎么学习

孩子初一数学成绩很好,一到初二,数学成绩直线下降,这是很多孩子会遇到的问题。

近日,我接到几位家长的电话,都是反应孩子遇到了四边形的难题,坐那思考半天还是不会做。作为一名长期从事数学教学的一线教师,有必要和大家分享一点初中数学几何的学习方法。

几何是数学一个分支,它对于培养学生的识图、画图能力及逻辑思维能力和推理论证能力都是十分重要的,如果做做到以下几点,你就不会再害怕几何难题了。

一、 不能忽略基础知识储备

学生进行初中,在初一全年所学习的几何知识大多是基础知识,如线段、角、三角形等有关知识,这些图形学生在小学都已见过,学习起来觉得轻松,所以初一数学成绩都还不错。但正是因为学生感觉到简单,往往忽略了一些要点。

几何的基础知识,是指定义、公理、定理(推论),特别是基本图形的几何语言描述、基本几何作图的规范语言以及一些概念性的东西。

在实际教学中,有时我会让学生像背诵古诗一样去背诵一些定理、定义,背诵的过程是一个知识内化的过程,但仅仅是背诵的程度还不够,真正内化,就是要真正理解,在解决简单问题的过程中不断规范运用,切不可想当然,看表面。

基本的几何图形,要能用规范的几何语言表述,几何基本作图,要能用规范的几何语言描述作图过程。初中几何除定义外,还有10条公理、140多条定理,全部理解并掌握了是学好初中几何的基础,只有有了足够的知识储备,才能在解决几何问题的时候得心应手。

二、 几何学习要注意分类

初中几何大多都是在接触新图形,从最基本的图形”点”到时”线”再到”线的组合图形”,按照认知规律逐渐深入,先介绍图形,认识图形,了解定义,再学习该图形的性质,最后学习图形的判定,基本都是这样一个学习流程,图形的定义往往既是性质又可作为判定。

这里所说的分类,是指随着学习的深入,总结知识点的前后联系,以知识点为主干,其他点为枝的分类方法。

以”垂直”为例,初一学习垂直,在初二和初三的学习中,许多图形中都用到垂直,可以总结分类。

平行线中的垂直:一条直线垂直两条平行线中的一条,那么一定垂直另一条。

直角三角形中的垂直:直角三角形两锐角互余、勾股定理射影定理

四边形中的垂直:菱形对角线互相垂直平分,矩形(含正方形)四个内角都是直角。

圆中的垂直:圆中直径所对圆周角是直角、圆的切线与过切点半(直)径垂直。

如果在学习过程中,不断总结这点特点和规律,到初三的时候,就很容易建立起初中平面几何的整体框架,解决综合性较强有大题时有了充足的知识储备,看到图形联想到学过的知识点,解决起来就容易多了。

三、几何中常用分析问题的方法

分析问题、解决问题的方法有很多种,诸如”综合法”、”分析法”、”反证法“、”枚举法(穷举法)、完全归纳法、不完全归纳法……等等。

  • 1.综合法

综合法是一种直接证法,从已知条件出发,借助其性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题,其特点和思路是”由因到果”,即从”已知”看”可知”,逐步推向”未知”。

适用题型:适用于已知条件相对较少的题目。

步骤:综合已知条件,看能够得到什么样的结论,选择与待证结论相关的再结合其他已知条件进一步论证,如此反复,最终达到待证的结论。

用综合法解决问题时,每一个中间论都会得到若干个结论,选择恰当的中间结论进一步论证是综合法的关键。

  • 2.分析法

分析法是一种间接证法,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件(已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。

适用题型:已知条件相对较多的题目,或者使用直接证法比较困难的题目。

步骤:从待证的结论出发,”要证……,只需证明(知道)……”,排除已知条件和显然成立的条件,重复”要证……,只需证明(知道)……,直到所需条件全部成立,于是问题得证。

分析法是分析问题、解决问题最常用的一种方法。我们通常用分析法对问题进行分析,然后使用综合法写出解决问题的过程。

  • 3.反证法

又称归谬法、背理法,是一种间接证法,首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

适用题型:唯一性命题、否定性命题、”至多”,”至少”型命题、不等量问题

步骤:先假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立。从这个假设的命题出发,经过推理证明得出矛盾。最后由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论正确。

三、 面对难题,从哪下手?

当我们面对一道几何题时,如果问题相对简单,我们通过直接观察就很容易找到解决的方法。但对于一些相对复杂、难度较大的题目时,大多数同学感到无从下手,甚至放弃。真的就放弃了吗?可以按以下步骤试一试,说不定就找到了问题的突破口。

  • 1. 再画一遍图形

虽然题目已经给出了明细的图形,但我们在充分了解题意的基础上,动手再画一遍图形,在画图的过程中严格遵循几何规律,在画的过程中进一步理清问题给出的条件,延伸出由直接条件得出的简单结论,能给问题找出更多有用的条件。

在平常的练习中可以用”几何画板”来画图,几何画板作图快捷,作出的图形始终保持几何属性,无论怎样惊变形状,作出的垂直始终保持垂直状态,有助于分析动态问题。

  • 2. 在图形上标注好等量

画完图后,开始分析问题,在图中把已知条件中给出的相等关系的量(相等的线段、相等的角)或能够知道相等的关系的量用相同的符号进行标记。

并把条件中已知的线段长度、角的度数或者通过简单分析能得出的长度、角度做上标记。题中有多组等量,要用不同的标记,以免混淆。比如相等的线段可在线段上划小斜线,相等的角用小弧线。复杂的角用阿拉伯数字标注,如∠1,∠2等等。

作标记有两个好处,一是有利于我们分析图形,二是能够使书写的证明过程简洁、明了,可读性增强,在证明过程中遇到的角也可以用数字标记出来便于书写和阅读。

  • 3. 找出图中隐含的基本图或模型图

原图中通过延长线段、连结两点、作垂直、作平行等辅助线后得到的特殊图形,如平行、垂直、特殊三角形(等边三角形、等腰三角形、Rt三角形)、特殊四边形(正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形等),这些特殊图形能够为我们提供诸如”相等”、”平行”、”垂直”等关系。

数学学习过程中有许多基本的几何模型,往往在难题中能找到这些基本模型的影子,如”三线八角”模型、”旋转全等模型”、”半角模型”等,基本几何模型有特有的性质特点,能够发现这些模型,就能找到更多条件。

  • 4. 善用数形结合

数形结合法是解决数学问题的重要方法之一,体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的,将抽象的数式与具体的图形相结合与转化,把图形问题转化为数量关系进行研究,以数解形,先充分挖掘出图形中的数量关系,用代数式求解几何问题,根据图形建立方程或函数关系是常用的方法。

比如在解决一些几何题时,可尝试将图形放入数轴或者是平面直角坐标系中,把几何问题代数化,再如要证明三角形是直角三角形时,可尝试将三边长度用勾股定理来验证

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